Câu hỏi: Xét hai số phức $${{z}_{1}},{{z}_{2}}$$ thoả mãn $$\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}}-4-4i \right|=\dfrac{1}{2}$$ và số phức $$z$$ thoả mãn $$\left| 2z+2-5i \right|=\left| 2z+3-6i \right|$$.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\left| z-3{{z}_{1}}-\overline{{{z}_{1}}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|$$ bằng
A. $$\dfrac{17}{2}$$.
B. $$\dfrac{13}{2}$$.
C. $$\dfrac{11}{2}$$.
D. $$\dfrac{15}{2}$$.
Lời giải
Gọi $$M$$ là điểm biểu diễn số phức $$z$$
$$A$$ là điểm biễu diễn số phức $${{z}_{2}}$$
$$B$$ là điểm biểu diễn số phức $$w=3{{z}_{1}}+\overline{{{z}_{1}}}$$
Ta có: $$\left| 2z+2-5i \right|=\left| 2z+3-6i \right|$$
Suy ra $$M$$ thuộc đường thẳng $$d:x-y+4=0$$
Và $$\left| {{z}_{2}}-4-4i \right|=\dfrac{1}{2}$$
Suy ra $$A$$ thuộc đường tròn tâm $$I(4;4); R=\dfrac{1}{2}$$
Ta có: $${{z}_{1}}=a+bi\to {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\dfrac{1}{4}$$
$$\begin{aligned}
& w=3{{z}_{1}}+\overline{{{z}_{1}}}=x+yi \\
& \to \left\{ \begin{aligned}
& x=4a \\
& y=2b \\
\end{aligned} \right.\to \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{x}{4} \\
& b=\dfrac{y}{2} \\
\end{aligned} \right.\to \dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1 (E) \\
\end{aligned}$$
Suy ra $$B$$ thuộc Elip (E).
Lấy đối xứng đường tròn tâm $$I(4;4)$$ bán kính $$R=\dfrac{1}{2}$$ qua đường thẳng $$d$$ ta được đường tròn tâm $${I}'(0;8)$$ bán kính $${R}'=\dfrac{1}{2}$$.
Đáp án B.