Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $$x,\left( x\ge -20 \right)$$ sao cho ứng với mỗi $$x$$ tồn tại đúng hai cặp số thực $$\left( y,z \right)$$ thoả mãn $${{\log }_{2}}\left( 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)={{\log }_{3}}\left( {{y}^{3}}+2{{z}^{3}} \right)=x?$$
A. $$29$$.
B. $$21$$.
C. $$32$$.
D. $$22$$.
Lời giải
Nhận xét $$z=0$$ ta được $${{\log }_{2}}2{{y}^{2}}={{\log }_{3}}{{y}^{3}}=x$$, dẫn đến $$y=x$$, do đó mỗi giá trị $$x$$ chỉ tồn tại một cặp số thực $$\left( x;0 \right)$$ thỏa mãn, suy ra $$z=0$$ loại.
Với $$z\ne 0$$, ta có
$${{\log }_{2}}\left( 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)={{\log }_{3}}\left( {{y}^{3}}+2{{z}^{3}} \right)=x$$
Ta có $$\left\{ \begin{aligned}
& 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{2}^{x}} \\
& {{y}^{3}}+2{{z}^{3}}={{3}^{x}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{3}}={{8}^{x}} \\
& {{\left( {{y}^{3}}+2{{z}^{3}} \right)}^{2}}={{9}^{x}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{{{\left( 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{3}}}{{{\left( {{y}^{3}}+2{{z}^{3}} \right)}^{2}}}={{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{x}}$$
Mặt khác, $$\dfrac{{{\left( 2{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{3}}}{{{\left( {{y}^{3}}+2{{z}^{3}} \right)}^{2}}}=\dfrac{{{\left[ 2{{\left( \dfrac{y}{z} \right)}^{2}}+1 \right]}^{3}}}{{{\left[ {{\left( \dfrac{y}{z} \right)}^{3}}+2 \right]}^{2}}}=\dfrac{{{\left( 2{{t}^{2}}+1 \right)}^{3}}}{{{\left( {{t}^{3}}+2 \right)}^{2}}}=f\left( t \right), t=\dfrac{y}{z}$$.
Ta xét phương trình $$f\left( t \right)={{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{x}}$$
Ta có $${f}'\left( t \right)=\dfrac{12t{{\left( 2{{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}{{\left( {{t}^{3}}+2 \right)}^{2}}-6{{t}^{2}}\left( {{t}^{3}}+2 \right){{\left( 2{{t}^{2}}+1 \right)}^{3}}}{{{\left( {{t}^{3}}+2 \right)}^{4}}}=\dfrac{6t{{\left( 2{{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}\left( 4-t \right)}{{{\left( {{t}^{3}}+2 \right)}^{3}}}$$
Ta xét $${f}'\left( t \right)=0$$ tại $$t=0,t=4$$ và $${f}'\left( t \right)$$ không xác định tại $$t=-\sqrt[3]{2}$$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $$y=f\left( t \right)$$ như sau
Dựa vào bảng biến thiên để cho ứng với mỗi $$x$$ tồn tại đúng hai cặp số thực $$\left( y,z \right)$$, khi và chỉ khi $$f\left( t \right)={{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{x}}$$ có hai nghiệm phân biệt $$t$$ vì $$t=\dfrac{y}{z}$$.
$$\begin{aligned}
& \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{4}<{{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{x}}\le 8 \\
& {{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{x}}>\dfrac{33}{4} \\
\end{aligned} \right. \\
& x\ge -20,x\in Z \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{\dfrac{8}{9}}}\left( 8 \right)\le x<{{\log }_{\dfrac{8}{9}}}\left( \dfrac{1}{4} \right) \\
& x<{{\log }_{\dfrac{8}{9}}}\left( \dfrac{33}{4} \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& x\ge -20,x\in Z \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& -17,65\le x<11,76 \\
& x<-17,91 \\
\end{aligned} \right. \\
& x\ge -20,x\in Z \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& -17,65\le x<11,76 \\
& -20\le x<-17,91 \\
\end{aligned} \right. \\
& x\in Z \\
\end{aligned} \right. \\
& \Rightarrow x\in \left[ -20,11 \right] \\
\end{aligned} $$Vậy có 32 số nguyên $$ x$$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án C.